微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y + 3 x - y - 3)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y + 3 x) - y - 3}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 3) - (y + 3)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $y + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{(x y - 2 x) + 4 y - 8}$

ステップ 1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{x (y - 2) + 4 (y - 2)}$

ステップ 1.2.2

最大公約数 $y - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{(y - 2) (x + 4)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x + 4} \cdot \frac{y + 3}{y - 2}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{y - 2}{y + 3}$ を掛けます。

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} (\frac{x - 1}{x + 4} \cdot \frac{y + 3}{y - 2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{x - 1}{x + 4}$ に $\frac{y + 3}{y - 2}$ をかけます。

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(x + 4) (y - 2)}$

ステップ 1.5.2

$y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$y - 2$ を $(x + 4) (y - 2)$ で因数分解します。

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(y - 2) (x + 4)}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(y - 2) (x + 4)}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{x + 4}$

ステップ 1.5.3

$y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

$y + 3$ を $(x - 1) (y + 3)$ で因数分解します。

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(y + 3) (x - 1)}{x + 4}$

ステップ 1.5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(y + 3) (x - 1)}{x + 4}$

ステップ 1.5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x + 4}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{y - 2}{y + 3} d y = \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$y - 2$ を $y + 3$ で割ります。

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ステップ 2.2.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$3$

$y$

$2$

ステップ 2.2.1.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

ステップ 2.2.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

ステップ 2.2.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 3$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

ステップ 2.2.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

ステップ 2.2.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} - \int \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.5

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.7

$u_{1} = y + 3$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.7.1

$u_{1} = y + 3$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1.1

$y + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

ステップ 2.2.7.1.2

総和則では、 $y + 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 2.2.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 2.2.7.1.4

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.7.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} - 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$y + C_{1} - 5 (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.9

簡約します。

$y - 5 \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.2.10

$u_{1}$ のすべての発生を $y + 3$ で置き換えます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$x - 1$ を $x + 4$ で割ります。

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ステップ 2.3.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x$

$1$

ステップ 2.3.1.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	-	$1$

ステップ 2.3.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$4$

ステップ 2.3.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 4$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$4$

ステップ 2.3.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$4$
					-	$5$

ステップ 2.3.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int 1 - \frac{5}{x + 4} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{5}{x + 4} d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{5}{x + 4} d x$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{5}{x + 4} d x$

ステップ 2.3.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - (5 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

ステップ 2.3.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{x + 4} d x$

ステップ 2.3.7

$u_{2} = x + 4$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$u_{2} = x + 4$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.3.7.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.7.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

ステップ 2.3.10

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| x + 4 |) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y - 5 \ln (| y + 3 |) = x - 5 \ln (| x + 4 |) + C$

微分積分 例

微分積分例