微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} + 2 = 3 x$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = 3 x - 2$

ステップ 1.2

$y$ を $\frac{3 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = 3 x - 2$

ステップ 1.3

$y$ と $\frac{3}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 3 x - 2$

ステップ 2

$P (x) = \frac{3}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{3}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{3 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{3})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{3}$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x^{3}$ を掛けます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{3}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.3.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.3.2.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.3.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} + x^{3} \cdot - 2$

ステップ 3.3.3

$- 2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x^{3} y = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$x^{3} y = \int 3 x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 7.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} y = 3 \int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 7.3

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 7.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 \int x^{3} d x$

ステップ 7.5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 7.6

簡約します。

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ステップ 7.6.1

簡約します。

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

ステップ 7.6.2

簡約します。

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ステップ 7.6.2.1

$3$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

ステップ 7.6.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

ステップ 7.6.2.3

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

ステップ 7.6.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

ステップ 7.6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

ステップ 7.6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

ステップ 7.6.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

ステップ 8

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ の各項を $x^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ の各項を $x^{3}$ で割ります。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$x^{5}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

$x^{3}$ を $\frac{3}{5} x^{5}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.1.2.4

$\frac{3}{5} x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.2

$\frac{3}{5}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.3

$x^{4}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.3.1

$x^{3}$ を $- \frac{1}{2} x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.3.2.4

$- \frac{1}{2} x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例