微分積分例

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

ステップ 1.2.2

$\tan (x)$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\tan (x)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- \sin (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- \sin (x) \sin (y)$ の微分係数は $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

ステップ 1.3.2

$y$ に関する $\sin (y)$ の微分係数は $\cos (y)$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$0$ から $\sin (x) \cos (y)$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

ステップ 1.4.2

$- \sin (x) \cos (y)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

ステップ 2

$N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

ステップ 2.2

$\cos (y)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\cos (x) \cos (y)$ の微分係数は $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

ステップ 2.4

$\cos (y) (- \sin (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- \cos (y) \sin (x)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- \cos (y) \sin (x)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$\cos (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $\cos (x)$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

ステップ 5.2

$\cos (y)$ の $y$ に関する積分は $\sin (y)$ です。

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

ステップ 5.3

簡約します。

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 8.2

総和則では、 $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$\sin (y)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\cos (x) \sin (y)$ の微分係数は $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 8.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1.1

右辺を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 9.1.1.1.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺に $\sin (x) \sin (y)$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

ステップ 9.1.2.2

$\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.2.1

$- \sin (x) \sin (y)$ と $\sin (x) \sin (y)$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

ステップ 9.1.2.2.2

$\tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

ステップ 9.1.2.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9.1.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

ステップ 10

$\tan (x)$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \tan (x) d x$

ステップ 10.3

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$

微分積分 例

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