微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $2 y - 1$ を掛けます。

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

ステップ 1.2

$2 y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

ステップ 2.2.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

ステップ 2.2.5.2

簡約します。

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

ステップ 3.2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $\frac{x^{3}}{3}$ を引きます。

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $5 x$ を引きます。

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

ステップ 3.3

両辺に最小公分母 $3$ を掛け、次に簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$- \frac{x^{3}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.2.3

式を書き換えます。

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.3

$- 5$ に $3$ をかけます。

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

ステップ 3.3.3

$- 15 x$ を移動させます。

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

ステップ 3.3.4

$- 3 y$ を移動させます。

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

ステップ 3.3.5

$3 y^{2}$ と $- x^{3}$ を並べ替えます。

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 3$ 、 $b = - 3$ 、および $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.4.1

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4.2

$- 3$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4.3

$- 15$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5

$3$ を $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.5.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5.2

$3$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5.3

$3$ を $36 K$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5.4

$3$ を $180 x$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5.5

$3$ を $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5.6

$3$ を $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5.7

$3$ を $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

ステップ 5

$y$ が初期条件 $(0, 11)$ で正なので、 $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $0$ を $x$ に、 $11$ を $y$ に代入します。

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ として書き換えます。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

ステップ 6.2

両辺に $6$ を掛けます。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3.1.1.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3.1.1.1.3

$60$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3.1.1.1.4

$3 + 0 + K$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3.1.1.1.5

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3.1.1.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3.1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3.1.1.2.2

$3$ と $K$ を並べ替えます。

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$11$ に $6$ をかけます。

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

ステップ 6.4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\sqrt{3 (K + 3)}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

ステップ 6.4.1.2

$66$ から $3$ を引きます。

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

ステップ 6.4.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

ステップ 6.4.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 (K + 3)}$ を ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

ステップ 6.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1.1

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

ステップ 6.4.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

ステップ 6.4.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

ステップ 6.4.3.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

ステップ 6.4.3.2.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1.3.1

$3$ に $3$ をかけます。

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

ステップ 6.4.3.2.1.3.2

簡約します。

$3 K + 9 = 63^{2}$

ステップ 6.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.3.1

$63$ を $2$ 乗します。

$3 K + 9 = 3969$

ステップ 6.4.4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.1

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.1.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$3 K = 3969 - 9$

ステップ 6.4.4.1.2

$3969$ から $9$ を引きます。

$3 K = 3960$

ステップ 6.4.4.2

$3 K = 3960$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.2.1

$3 K = 3960$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

ステップ 6.4.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

ステップ 6.4.4.2.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{3960}{3}$

ステップ 6.4.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.2.3.1

$3960$ を $3$ で割ります。

$K = 1320$

ステップ 7

$1320$ を $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$1320$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$3$ と $1320$ をたし算します。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

ステップ 7.2.2

項を並べ替えます。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$

微分積分 例

微分積分例