微分積分例

$\frac{d y}{d x} = e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{{(2 - y)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} (e^{x + 2} {(2 - y)}^{2})$

ステップ 1.2

${(2 - y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

${(2 - y)}^{2}$ を $e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x + 2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = e^{x + 2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u_{1} = 2 - y$ とします。次に $d u_{1} = - d y$ すると、 $- d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 2 - y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.4.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.4.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}) = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1})$ を $- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

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ステップ 2.2.6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.6.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.2.7

$u_{1}$ のすべての発生を $2 - y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u_{2} = x + 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.1.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{x + 2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 - y, 1, 1$

ステップ 3.1.2

括弧を削除します。

$2 - y, 1, 1$

ステップ 3.1.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 - y$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ の各項に $2 - y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ の各項に $2 - y$ を掛けます。

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

ステップ 3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$1 = e^{x + 2} \cdot 2 + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

ステップ 3.2.3.1.2

$2$ を $e^{x + 2}$ の左に移動させます。

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

ステップ 3.2.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K (2 - y)$

ステップ 3.2.3.1.4

分配則を当てはめます。

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K \cdot 2 + K (- y)$

ステップ 3.2.3.1.5

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 \cdot K + K (- y)$

ステップ 3.2.3.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$

ステップ 3.2.3.2

$2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$ の因数を並べ替えます。

$1 = 2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$ として書き換えます。

$2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $2 e^{x + 2}$ を引きます。

$- y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1 - 2 e^{x + 2}$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $2 K$ を引きます。

$- y e^{x + 2} - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

ステップ 3.3.3

$y$ を $- y e^{x + 2} - K y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$y$ を $- y e^{x + 2}$ で因数分解します。

$y (- 1 e^{x + 2}) - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

ステップ 3.3.3.2

$y$ を $- K y$ で因数分解します。

$y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

ステップ 3.3.3.3

$y$ を $y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K)$ で因数分解します。

$y (- 1 e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

ステップ 3.3.4

$- 1 e^{x + 2}$ を $- e^{x + 2}$ に書き換えます。

$y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

ステップ 3.3.5

$y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ の各項を $- e^{x + 2} - K$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ の各項を $- e^{x + 2} - K$ で割ります。

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

ステップ 3.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.1

$- e^{x + 2} - K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

ステップ 3.3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

ステップ 3.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

ステップ 3.3.5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

ステップ 3.3.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} + K} - \frac{K}{- e^{x + 2} + K}$

微分積分 例

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