微分積分例

$x \cdot \frac{d y}{d x} + y = x^{4} \ln (x)$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} \ln (x)$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} \ln (x) d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x y = \int x^{4} \ln (x) d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{4}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x y = \ln (x) (\frac{1}{5} x^{5}) - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$x y = \ln (x) \frac{x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{5}}{5}$ をまとめます。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.3

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{5} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{5}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{5}}{x} d x)$

ステップ 5.4.2

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x)$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x)$

ステップ 5.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 5.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 5.4.2.2.4

式を書き換えます。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{4}}{1} d x)$

ステップ 5.4.2.2.5

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{4} d x)$

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

ステップ 5.5

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

ステップ 5.6

答えを簡約します。

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ステップ 5.6.1

$\frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ を $\frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ に書き換えます。

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

ステップ 5.6.2

簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$\frac{1}{5}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$x y = \frac{\ln (x)}{5} x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

ステップ 5.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

ステップ 5.6.2.3

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

ステップ 5.6.2.4

$5$ に $5$ をかけます。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

ステップ 6

$y$ について解きます。

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ステップ 6.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x^{5}$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$

ステップ 6.1.2

括弧を削除します。

$x y = \frac{1}{5} \cdot \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{25} + C$

ステップ 6.2

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1.1.1

$x$ を $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})$ で因数分解します。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})}{1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.1.2.5

$\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}) + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.2

$\frac{1}{5} (\ln (x) x^{4})$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1.2.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{5}$ を並べ替えます。

$y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln (x)$ を簡約します。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1.4.1

$- \frac{x^{5}}{25}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.4.2

$x$ を $- x^{5}$ で因数分解します。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.4.4

式を書き換えます。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.3.2

$\ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = x^{4} \ln (x^{\frac{1}{5}}) - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

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