微分積分例

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

ステップ 1

すべての解が $x = e^{r t}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

ステップ 2.4

括弧を削除します。

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

ステップ 2.5

$e^{r t}$ を因数分解します。

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ステップ 2.5.1

$e^{r t}$ を $r^{2} e^{r t}$ で因数分解します。

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

ステップ 2.5.2

$e^{r t}$ を $4 r e^{r t}$ で因数分解します。

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

ステップ 2.5.3

$e^{r t}$ を $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ で因数分解します。

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

ステップ 2.5.4

$e^{r t}$ を $5 e^{r t}$ で因数分解します。

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

ステップ 2.5.5

$e^{r t}$ を $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ で因数分解します。

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

ステップ 2.6

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r t}$ で割ります。

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

ステップ 3.2

$5$ から $10$ を引きます。

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

ステップ 3.3

たすき掛けを利用して $r^{2} + 4 r - 5$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(r - 1) (r + 5) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

ステップ 3.5

$r - 1$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$r - 1$ が $0$ に等しいとします。

$r - 1 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$r = 1$

ステップ 3.6

$r + 5$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$r + 5$ が $0$ に等しいとします。

$r + 5 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$r = - 5$

ステップ 3.7

最終解は $(r - 1) (r + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = 1, - 5$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

ステップ 6

$t$ に $1$ をかけます。

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$

微分積分 例

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