微分積分例

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

ステップ 1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

ステップ 2

$P (t) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int d t}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{t + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{t}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{t}$ を掛けます。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

ステップ 3.2

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = t^{2}$ と $d v = e^{t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

ステップ 7.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

ステップ 7.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

ステップ 7.4

$u = t$ と $d v = e^{t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

ステップ 7.5

$e^{t}$ の $t$ に関する積分は $e^{t}$ です。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

ステップ 7.6

$t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ を $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ に書き換えます。

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

ステップ 8

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ の各項を $e^{t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ の各項を $e^{t}$ で割ります。

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$- 2 t$ を $1$ で割ります。

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8.3.1.3

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8.3.1.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$

微分積分 例

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