微分積分例

$x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ を $37 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ を $7 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.5

$y$ を $\frac{37 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{37}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 1.6

$y$ と $\frac{37}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{37}{x} y = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{37}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{37}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{37}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$37$ は $x$ に対して定数なので、 $37$ を積分の外に移動させます。

$e^{37 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{37 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{37 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{37 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{37})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{37}$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{37}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x^{37}$ を掛けます。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} (\frac{37}{x} y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{37}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x$ を $x^{37}$ で因数分解します。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{36} (37 y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

$x$ を $x^{37}$ で因数分解します。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{36} \cdot 7 + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$7$ を $x^{36}$ の左に移動させます。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 \cdot x^{36} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$x^{2}$ を $x^{37}$ で因数分解します。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3.3

式を書き換えます。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{35} \cdot - 47$

ステップ 3.3.4

$- 47$ を $x^{35}$ の左に移動させます。

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{37} y] = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{37} y] d x = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x^{37} y = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$x^{37} y = \int 7 x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

ステップ 7.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$x^{37} y = 7 \int x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

ステップ 7.3

べき乗則では、 $x^{36}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{37} x^{37}$ です。

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) + \int - 47 x^{35} d x$

ステップ 7.4

$- 47$ は $x$ に対して定数なので、 $- 47$ を積分の外に移動させます。

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 \int x^{35} d x$

ステップ 7.5

べき乗則では、 $x^{35}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{36} x^{36}$ です。

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 (\frac{1}{36} x^{36} + C)$

ステップ 7.6

簡約します。

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ステップ 7.6.1

簡約します。

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37}) x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

ステップ 7.6.2

簡約します。

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ステップ 7.6.2.1

$7$ と $\frac{1}{37}$ をまとめます。

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

ステップ 7.6.2.2

$- 47$ と $\frac{1}{36}$ をまとめます。

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} + \frac{- 47}{36} x^{36} + C$

ステップ 7.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$

ステップ 8

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ の各項を $x^{37}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ の各項を $x^{37}$ で割ります。

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x^{37}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$x^{37}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$\frac{7}{37}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3.1.2

$x^{36}$ と $x^{37}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$x^{36}$ を $- \frac{47}{36} x^{36}$ で因数分解します。

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.2.1

$x^{36}$ を $x^{37}$ で因数分解します。

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36}}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3.1.4

$\frac{1}{x}$ に $\frac{47}{36}$ をかけます。

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{x \cdot 36} + \frac{C}{x^{37}}$

ステップ 8.3.1.5

$36$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36 x} + \frac{C}{x^{37}}$

微分積分 例

微分積分例