微分積分例

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{r}$ を掛けます。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

ステップ 1.2.2

$r$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$- \frac{1}{r}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

ステップ 1.2.2.2

$r$ を $r \tan (θ)$ で因数分解します。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

ステップ 1.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

ステップ 1.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

ステップ 2.2

$\frac{1}{r}$ の $r$ に関する積分は $\ln (| r |)$ です。

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $θ$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

ステップ 2.3.2

$\tan (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\ln (| \sec (θ) |)$ です。

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

ステップ 3.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

ステップ 3.3

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

ステップ 3.4

$r$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

ステップ 3.6

$r$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $| r \sec (θ) | = e^{C}$ として書き換えます。

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

ステップ 3.6.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

ステップ 3.6.3

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$ の各項を $\sec (θ)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$ の各項を $\sec (θ)$ で割ります。

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

ステップ 3.6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.3.2.1

$\sec (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

ステップ 3.6.3.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

ステップ 3.6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.6.3.3.1

分数を分解します。

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

ステップ 3.6.3.3.2

正弦と余弦に関して $\sec (θ)$ を書き換えます。

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.6.3.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (θ)}$ で割ります。

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

ステップ 3.6.3.3.4

$\cos (θ)$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

ステップ 3.6.3.3.5

$\pm e^{C}$ を $1$ で割ります。

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

ステップ 3.6.3.3.6

$(\pm e^{C}) \cos (θ)$ の因数を並べ替えます。

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$r = \cos (θ) C$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $r = \cos (θ) C$ の $π$ を $θ$ に、 $2$ を $r$ に代入し $C$ の値を求めます。

$2 = \cos (π) C$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\cos (π) C = 2$ として書き換えます。

$\cos (π) C = 2$

ステップ 6.2

$\cos (π) C = 2$ の各項を $\cos (π)$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\cos (π) C = 2$ の各項を $\cos (π)$ で割ります。

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\cos (π)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

ステップ 6.2.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分数を分解します。

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{\cos (π)}$ を $\sec (π)$ に変換します。

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

ステップ 6.2.3.3

$2$ を $1$ で割ります。

$C = 2 \sec (π)$

ステップ 6.2.3.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$C = 2 (- \sec (0))$

ステップ 6.2.3.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 6.2.3.6

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$C = 2 \cdot - 1$

ステップ 6.2.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$C = - 2$

ステップ 7

$- 2$ を $r = \cos (θ) C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$- 2$ を $C$ に代入します。

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

ステップ 7.2

$- 2$ を $\cos (θ)$ の左に移動させます。

$r = - 2 \cos (θ)$

微分積分 例

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