微分積分例

$2 x d y + 3 y d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $3 y d x$ を引きます。

$2 x d y = - 3 y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

ステップ 3.2

$2$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{x y} y d x$

ステップ 3.5

$- 3$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x y} y d x$

ステップ 3.6

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.3

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (y^{2}) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

ステップ 5.2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y^{2} {| x |}^{3})} = e^{C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = y^{2} {| x |}^{3}$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ として書き換えます。

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$

ステップ 5.5.2

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ の各項を ${| x |}^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ の各項を ${| x |}^{3}$ で割ります。

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

${| x |}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

ステップ 5.5.4

$\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.4.1

$\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$ を ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.4.1.1

$e^{C}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

ステップ 5.5.4.1.2

${| x |}^{3}$ から完全累乗 ${| x |}^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}}$

ステップ 5.5.4.1.3

分数 $\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}}$

ステップ 5.5.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

ステップ 5.5.4.3

$\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ を $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

ステップ 5.5.4.4

まとめる。

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

ステップ 5.5.4.5

$\sqrt{e^{C}}$ に $1$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

ステップ 5.5.4.6

$\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ に $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

ステップ 5.5.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.5.4.7.1

$\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ に $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

ステップ 5.5.4.7.2

$\sqrt{| x |}$ を移動させます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}$

ステップ 5.5.4.7.3

$\sqrt{| x |}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}$

ステップ 5.5.4.7.4

$\sqrt{| x |}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}$

ステップ 5.5.4.7.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.5.4.7.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}$

ステップ 5.5.4.7.7

${\sqrt{| x |}}^{2}$ を $| x |$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.4.7.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{| x |}$ を ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.5.4.7.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.5.4.7.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.4.7.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.4.7.7.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.4.7.7.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}$

ステップ 5.5.4.7.7.5

簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}$

ステップ 5.5.4.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x | | x |}$

ステップ 5.5.4.9

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x \cdot x |}$

ステップ 5.5.4.10

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.4.10.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x^{2} |}$

ステップ 5.5.4.10.2

絶対値から非負の項を削除します。

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

ステップ 5.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。