微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - y + x - 1}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - y) + x - 1}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) (y + 1)}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1))$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$y + 1$ を $\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

ステップ 1.4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

ステップ 1.4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = y + 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2}$

ステップ 2.3.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 2) (x - 2)$ です。

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.4

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.5

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.5.2

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$x - 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.6.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x - 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.6.1.2

$(A) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$x - 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$x - 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.6.3

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$x - 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.6.4

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$x - 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.1.6.4.2

$(B) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$x - 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

ステップ 2.3.1.1.6.5

分配則を当てはめます。

$x - 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

ステップ 2.3.1.1.6.6

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$x - 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

ステップ 2.3.1.1.7

$- 2 A$ を移動させます。

$x - 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

ステップ 2.3.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.3.1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = - 2 A + 2 B$

ステップ 2.3.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

ステップ 2.3.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

ステップ 2.3.1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

ステップ 2.3.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.1

$- 1 = - 2 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$- 1 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.2.1

$- 2 (1 - B) + 2 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 1 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.2.2.1.2

$2 B$ と $2 B$ をたし算します。

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3

$- 1 = - 2 + 4 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.1

方程式を $- 2 + 4 B = - 1$ として書き換えます。

$- 2 + 4 B = - 1$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$4 B = - 1 + 2$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3

$4 B = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.1

$4 B = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

ステップ 2.3.1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.4.2.1

$1 - (\frac{1}{4})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{4 - 1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.4.2.1.3

$4$ から $1$ を引きます。

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.5.2

$\frac{3}{4}$ に $\frac{1}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

ステップ 2.3.1.5.4

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{x - 2}$ をかけます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

ステップ 2.3.4

$u_{2} = x + 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$u_{2} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.4.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.4.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x$

ステップ 2.3.7

$u_{3} = x - 2$ とします。次に $d u_{3} = d x$ 。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$u_{3} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 2.3.7.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.7.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.7.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C_{3})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

ステップ 2.3.10

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.10.1

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

ステップ 2.3.10.2

$u_{3}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\frac{3}{4}$ と $\ln (| x + 2 |)$ をまとめます。

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

ステップ 3.1.1.2

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| x - 2 |)$ をまとめます。

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$

ステップ 3.2

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ の各項に $4$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ の各項に $4$ を掛けます。

$\ln (| y + 1 |) \cdot 4 = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$4$ を $\ln (| y + 1 |)$ の左に移動させます。

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.3.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

ステップ 3.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C \cdot 4$

ステップ 3.2.3.1.3

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4 \ln (| y + 1 |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (| y + 1 |)$ を簡約します。

$\ln ({| y + 1 |}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

ステップ 3.3.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y + 1 |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

ステップ 3.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| x + 2 |)$ を簡約します。

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3}) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) + 4 C$

ステップ 3.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln ({(y + 1)}^{4}) - \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = 4 C$

ステップ 3.6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$

ステップ 3.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |})} = e^{4 C}$

ステップ 3.8

対数の定義を利用して $\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{4 C} = \frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

ステップ 3.9

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

方程式を $\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$ として書き換えます。

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$

ステップ 3.9.2

両辺に ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ を掛けます。

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

ステップ 3.9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.1

${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

ステップ 3.9.3.1.1.2

式を書き換えます。

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

ステップ 3.9.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.2.1

括弧を削除します。

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$

ステップ 3.9.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

ステップ 3.9.4.2

$\pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.4.2.1

$e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ を ${(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.4.2.1.1

$e^{4 C}$ を ${(e^{C})}^{4}$ に書き換えます。

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

ステップ 3.9.4.2.1.2

括弧を付けます。

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)}$

ステップ 3.9.4.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y + 1 = \pm e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

ステップ 3.9.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.4.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y + 1 = e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

ステップ 3.9.4.3.2

$e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ の因数を並べ替えます。

$y + 1 = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

ステップ 3.9.4.3.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

ステップ 3.9.4.3.4

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y + 1 = - e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

ステップ 3.9.4.3.5

$- e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ の因数を並べ替えます。

$y + 1 = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

ステップ 3.9.4.3.6

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

ステップ 3.9.4.3.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

微分積分 例

微分積分例