微分積分例

$\frac{d y}{d x}$ of $y = x^{3}$

ステップ 1

問題を数式で書きます。

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1.1

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{3}}{y}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{3}}{y}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$

ステップ 2.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y}$

ステップ 2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = x^{3}$

ステップ 2.4

方程式を書き換えます。

$y d y = x^{3} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int x^{3} d x$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{3} d x$

ステップ 3.3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 4.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

ステップ 4.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{4} + 2 K$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{2 (2)} + 2 K$

ステップ 4.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 2 K$

ステップ 4.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{x^{4}}{2} + 2 K$

ステップ 4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K}$

ステップ 4.4

$\pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 4.4.2

$2 K$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4} + 2 K \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4} + 4 K}{2}}$

ステップ 4.4.5

$\sqrt{\frac{x^{4} + 4 K}{2}}$ を $\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.4.6

$\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.7.1

$\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.4.7.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{2}$

ステップ 4.4.9

$\pm \frac{\sqrt{(x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

ステップ 5

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + K)}}{2}$

微分積分 例

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