微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x - 6}$ and $y (7) = - 2$ ?

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{4}{x - 6} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{4}{x - 6} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{4}{x - 6} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x - 6} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x - 6$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = x - 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$x - 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 2.3.2.1.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $x - 6$ で置き換えます。

$y + C_{1} = 4 \ln (| x - 6 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ の $7$ を $x$ に、 $- 2$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$- 2 = 4 \ln (| 7 - 6 |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$ として書き換えます。

$4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$

ステップ 4.2

$4 \ln (| 7 - 6 |) + C$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$7$ から $6$ を引きます。

$4 \ln (| 1 |) + C = - 2$

ステップ 4.2.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$4 \ln (1) + C = - 2$

ステップ 4.2.1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$4 \cdot 0 + C = - 2$

ステップ 4.2.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$0 + C = - 2$

ステップ 4.2.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$C = - 2$

ステップ 5

$- 2$ を $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2$ を $C$ に代入します。

$y = 4 \ln (| x - 6 |) - 2$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (| x - 6 |)$ を簡約します。

$y = \ln ({| x - 6 |}^{4}) - 2$

ステップ 5.2.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x - 6 |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$y = \ln ({(x - 6)}^{4}) - 2$

微分積分 例

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