微分積分例

$y^{2} d y - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

書き換えます。

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{2} + \frac{y^{3}}{x}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

ステップ 2.4

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$

ステップ 2.6

$\frac{1}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{3}}{x}$ の微分係数は $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}])$

ステップ 2.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{x} (3 y^{2})$

ステップ 2.8

分数をまとめます。

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ステップ 2.8.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{1}{x} y^{2}$

ステップ 2.8.2

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3}{x} y^{2}$

ステップ 2.8.3

$\frac{- 3}{x}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3 y^{2}}{x}$

ステップ 2.8.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{3 y^{2}}{x}$

ステップ 3

$N (x, y) = y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- \frac{3 y^{2}}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- \frac{3 y^{2}}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{N}$

ステップ 5.3

$y^{2}$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$y^{2}$ を $N$ に代入します。

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{y^{2}}$

ステップ 5.3.2

$- \frac{3 y^{2}}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x}}{y^{2}}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 5.3.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

$- \frac{3 y^{2}}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 5.3.4.2

$y^{2}$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 5.3.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 5.3.4.4

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{x}$

ステップ 5.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 6.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 6.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 6.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

対数の中の $- 3$ を移動させて $- 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

ステップ 6.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

ステップ 6.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

ステップ 7

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.3

$- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{- x^{2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.2

$- x^{2}$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- x^{2} x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- x^{2} x - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{- (x^{1} x^{2}) - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{- x^{1 + 2} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.4.4

$- x^{3}$ を ${(- x)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{{(- x)}^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.4.5

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = - x$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- x)}^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.4.6

簡約します。

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ステップ 7.4.4.6.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.4.6.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{(- x - y) (1 x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.4.4.6.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.6

まとめる。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x \cdot x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.7

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1} x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1 + 3}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.7.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.8

$(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.9

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.10

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) - (y)) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.11

$- 1$ を $- (x) - (y)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.12

$- (x + y)$ を $- 1 (x + y)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 7.14

$y^{2}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.15

$y^{2}$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{x^{3}}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{x^{3}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

ステップ 9.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

ステップ 9.3

答えを簡約します。

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ステップ 9.3.1

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ を $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2.2

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2.3

$3$ に $x^{3}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

ステップ 9.3.2.4

$\frac{1}{3 x^{3}}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.2

総和則では、 $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$\frac{y^{3}}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ の微分係数は $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 12.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.8

$- 3$ と $\frac{y^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.9

$\frac{- 3 y^{3}}{3}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.11

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.11.1

$3$ を $- 3 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.11.2.1

$3$ を $3 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 12.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

方程式の両辺に $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ を展開します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x \cdot x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.2.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.2.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1} x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1 + 2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x (x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.2.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - (x \cdot x) y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.2.5.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - (y \cdot y) x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.6

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.2.6.1

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.2.6.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1} y^{2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2.6.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.3

$x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 13.1.1.3.3.1

$- x^{2} y$ と $y x^{2}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.3.2

$- x^{2} y$ と $x^{2} y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.3.3

$x^{3} + x y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.3.4

$x y^{2}$ と $- y^{2} x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{2} x - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.3.5

$y^{2} x$ から $y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.3.6

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.4

$- y^{3} + x^{3} + y^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 13.1.1.4.1

$- y^{3}$ と $y^{3}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.4.2

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.5

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.1.5.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.1.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.1.5.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

ステップ 13.1.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

ステップ 13.1.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

ステップ 13.1.2

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 14

$- \frac{1}{x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 14.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 14.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

ステップ 14.5

簡約します。

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} - \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例