微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ を $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ を展開します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.3

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.3.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.3.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.4

$- e^{0}$ を簡約します。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.5

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.1.5.1

$e^{x}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.5.3

$x$ から $x$ を引きます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.6

$- e^{0}$ を簡約します。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 2.3.1.3.1.8

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.1.8.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

ステップ 2.3.1.3.1.8.3

$- x$ から $x$ を引きます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.1.3.1.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.1.3.1.10

$e^{- 2 x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.1.3.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.3

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.3.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.3.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.3.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.4

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.6

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.7

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.8

$u_{2} = - 2 x$ とします。次に $d u_{2} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.8.1

$u_{2} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.8.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.3.8.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 2.3.8.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 2.3.8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.9

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.9.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.10

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.11

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.12

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

ステップ 2.3.13

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

ステップ 2.3.14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 2.3.14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

ステップ 2.3.14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

ステップ 2.3.15

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + K$

微分積分 例

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