微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{x}{y}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $\frac{x}{y}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺に $\frac{y}{x}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{y} = \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺に $\frac{x}{y}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

ステップ 1.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + V^{- 1}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{- 1}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V}$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V} - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$V + \frac{1}{V} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 0$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$\frac{1}{V}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

$\frac{1}{V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $V$ を掛けます。

$V \frac{d V}{d x} = V (\frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

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ステップ 6.1.4.1

$\frac{1}{V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

ステップ 6.1.4.2

$V$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.4.2.1

$V$ を $V x$ で因数分解します。

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V (x)}$

ステップ 6.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

ステップ 6.1.4.2.3

式を書き換えます。

$V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$V d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

べき乗則では、 $V$ の $V$ に関する積分は $\frac{1}{2} V^{2}$ です。

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} V^{2} = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} V^{2})$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $V^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$V^{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$V^{2} = 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 6.3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$V^{2} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

ステップ 6.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

ステップ 6.3.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 6.3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 6.3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 6.3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 6.4

積分定数を簡約します。

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ を解きます。

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ステップ 8.1

書き換えます。

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

ステップ 8.2

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

ステップ 8.3

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

ステップ 8.3.1.2

式を書き換えます。

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

ステップ 9

$y$ について $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

書き換えます。

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

ステップ 9.2

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

ステップ 9.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

ステップ 9.3.1.2

式を書き換えます。

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

ステップ 10

解をまとめます。

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

微分積分 例

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