微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1.1

分数 $\frac{y + \ln (x)}{x}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $\frac{y}{x}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1.2

$y$ を $- \frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1.3

$y$ と $- \frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{\ln (x)}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

ステップ 3.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

ステップ 3.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

ステップ 3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 7.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

ステップ 7.2

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

ステップ 7.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

ステップ 7.3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

ステップ 7.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

ステップ 7.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.5

式を簡約します。

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ステップ 7.5.1

簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.5.1.2

$\int \frac{1}{x^{2}} d x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.5.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 7.5.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.5.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

ステップ 7.6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

ステップ 7.7

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ を $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 8.1.1

方程式の両辺に $\frac{\ln (x)}{x}$ を足します。

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 8.1.2

方程式の両辺に $\frac{1}{x}$ を足します。

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

ステップ 8.1.3

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

ステップ 8.1.4

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

ステップ 8.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.2.1

方程式の両辺から $\frac{\ln (x)}{x}$ を引きます。

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

ステップ 8.2.3

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.1

$- \frac{\ln (x)}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.1.3

式を書き換えます。

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.2.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

ステップ 8.4.2.1.3

$- 1$ を移動させます。

$y = - \ln (x) + C x - 1$

ステップ 8.4.2.1.4

$- \ln (x)$ と $C x$ を並べ替えます。

$y = C x - \ln (x) - 1$

微分積分 例

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