微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ と $y (1) = - 3$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = 2 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

ステップ 4

$y$ が初期条件 $(1, - 3)$ で負なので、 $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $1$ を $x$ に、 $- 3$ を $y$ に代入します。

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

ステップ 5

$K$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ として書き換えます。

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

ステップ 5.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ を ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.2

積の法則を $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.4

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.5

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.5.2.1

共通因数を約分します。

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3.5.2.2

式を書き換えます。

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.4

簡約します。

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$2 + 2 K = 9$

ステップ 5.4

$K$ について解きます。

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ステップ 5.4.1

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 K = 9 - 2$

ステップ 5.4.1.2

$9$ から $2$ を引きます。

$2 K = 7$

ステップ 5.4.2

$2 K = 7$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$2 K = 7$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 5.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{7}{2}$

ステップ 6

$\frac{7}{2}$ を $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{7}{2}$ を $K$ に代入します。

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

ステップ 6.2

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

ステップ 6.3

$x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

ステップ 6.5

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

ステップ 6.6

$2$ と $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ をまとめます。

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

ステップ 6.7

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.7.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1

共通因数を約分します。

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

ステップ 6.7.1.2

式を書き換えます。

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

ステップ 6.7.2

$2 x^{2} + 7$ を $1$ で割ります。

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$

微分積分 例

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