微分積分例

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ の各項を $6 x - 2 x y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ の各項を $6 x - 2 x y$ で割ります。

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$6 x - 2 x y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d x}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$2 x$ を $6 x - 2 x y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.1.1.1

$2 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) - 2 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2

$2 x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) + 2 x (- 1 y)}$

ステップ 1.1.3.1.1.3

$2 x$ を $2 x (3) + 2 x (- 1 y)$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - 1 y)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - y)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y}$

ステップ 1.3

両辺に $2 x$ を掛けます。

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{2 x}$ に $\frac{1}{3 - y}$ をかけます。

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

ステップ 1.4.2

$2 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$2 x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 - y}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$2 x d x = \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2.2.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 3 - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 3 - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.3.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 2.3.2

分数を複数の分数に分割します。

$x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$x^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $3 - y$ で置き換えます。

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| 3 - y |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$x^{2} = - \ln (| 3 - y |) + C$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

ステップ 3.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

ステップ 3.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

ステップ 3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

微分積分 例

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