微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に ${(2 y + 1)}^{2}$ を掛けます。

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

${(2 y + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = 4$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

${(2 y + 1)}^{2} d y = 4 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int {(2 y + 1)}^{2} d y = \int 4 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 2 y + 1$ とします。次に $d u = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 2 y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$2 y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $2 y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1.4.1

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{2} \frac{1}{2} d u = \int 4 d x$

ステップ 2.2.2

$u^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{2}}{2} d u = \int 4 d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{2} d u = \int 4 d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1}) = \int 4 d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1})$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

ステップ 2.2.5.2

簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

ステップ 2.2.5.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $2 y + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} = 4 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3}) = 6 (4 x + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ と ${(2 y + 1)}^{3}$ をまとめます。

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$6 (4 x + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x) + 6 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$4$ に $6$ をかけます。

${(2 y + 1)}^{3} = 24 x + 6 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{24 x + 6 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

書き換えます。

$2 y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

ステップ 3.4.2

0を加えて簡約します。

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

ステップ 3.4.3

$6$ を $24 x + 6 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.3.1

$6$ を $24 x$ で因数分解します。

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

ステップ 3.4.3.2

$6$ を $6 K$ で因数分解します。

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

ステップ 3.4.3.3

$6$ を $6 (4 x) + 6 K$ で因数分解します。

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x + K)}$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$

ステップ 3.6

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 3.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1}{2}$

微分積分 例

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