微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \ln (x)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = x^{3} \ln (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x^{3} \ln (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x^{3} \ln (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$x^{4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

ステップ 2.3.4.2

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.4

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.5

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ を $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$\frac{1}{4}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.4

$4$ に $4$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + K$

微分積分 例

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