微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - 5 e^{x + 5}$ , $y (- 5) = 7$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = - 5 e^{x + 5} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - 5 e^{x + 5} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - 5 e^{x + 5} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 5 \int e^{x + 5} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x + 5$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = x + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$x + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.3.2.1.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 5 \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = - 5 (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = - 5 e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - 5 e^{x + 5} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - 5 e^{x + 5} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - 5 e^{x + 5} + K$ の $- 5$ を $x$ に、 $7$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$7 = - 5 e^{- 5 + 5} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$ として書き換えます。

$- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$

ステップ 4.2

$- 5 e^{- 5 + 5} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$- 5 e^{0} + K = 7$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 5 \cdot 1 + K = 7$

ステップ 4.2.2.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- 5 + K = 7$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$K = 7 + 5$

ステップ 4.3.2

$7$ と $5$ をたし算します。

$K = 12$

ステップ 5

$12$ を $y = - 5 e^{x + 5} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$12$ を $K$ に代入します。

$y = - 5 e^{x + 5} + 12$

微分積分 例

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