微分積分例

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y^{2} - 3 y^{3}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3 y^{3}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y^{2}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 3 y^{3}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 (3 y^{2})$

ステップ 1.4.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 9 y^{2}$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y^{2} + 4 x y$

ステップ 2

$N (x, y) = 7 - 3 x y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7 - 3 x y^{2}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $7 - 3 x y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3 y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x y^{2}$ の微分係数は $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2}$

ステップ 2.4

$0$ から $3 y^{2}$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 9 y^{2} + 4 x y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 3 y^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 3 y^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 3 y^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$- 9 y^{2} + 4 x y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{M}$

ステップ 4.3

$2 x y^{2} - 3 y^{3}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 x y^{2} - 3 y^{3}$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2}) - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.2.2

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - 4 (x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.2.4

$- 3 y^{2}$ と $9 y^{2}$ をたし算します。

$\frac{6 y^{2} - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.2.5

$2 y$ を $6 y^{2} - 4 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$2 y$ を $6 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 y (3 y) - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.2.5.2

$2 y$ を $- 4 x y$ で因数分解します。

$\frac{2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.2.5.3

$2 y$ を $2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.3

$y^{2}$ を $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$y^{2}$ を $2 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}$

ステップ 4.3.3.2

$y^{2}$ を $- 3 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}$

ステップ 4.3.3.3

$y^{2}$ を $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ で因数分解します。

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.4

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$y$ を $2 y (3 y - 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$y$ を $y^{2} (2 x - 3 y)$ で因数分解します。

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (3 y - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.5

$3 y - 2 x$ と $2 x - 3 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$- 1$ を $3 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (- 3 y) - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.5.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (- 3 y) - (2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.5.3

$- 1$ を $- (- 3 y) - (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.5.4

$- (- 3 y + 2 x)$ を $- 1 (- 3 y + 2 x)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.5.5

項を並べ替えます。

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.5.6

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 4.3.5.7

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

ステップ 4.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 4.3.7

$2 x y^{2} - 3 y^{3}$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 6

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 x y^{2} - 3 y^{3}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) \frac{1}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

$2 x y^{2} - 3 y^{3}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x y^{2} - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

$y^{2}$ を $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$y^{2}$ を $2 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$y^{2}$ を $- 3 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y^{2}$ を $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.2

$2 x - 3 y$ を $1$ で割ります。

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.5

$7 - 3 x y^{2}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6

$7 - 3 x y^{2}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$(2 x - 3 y) d x + \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 x - 3 y d x$

ステップ 8

$M (x, y) = 2 x - 3 y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int - 3 y d x$

ステップ 8.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int - 3 y d x$

ステップ 8.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 y d x$

ステップ 8.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y x + C$

ステップ 8.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 y x + C$

ステップ 8.6

簡約します。

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 3 y x + g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

総和則では、 $x^{2} - 3 y x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11.2.2

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [- 3 y x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$- 3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 3 y x$ の微分係数は $- 3 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 - 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$0 - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 - 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

$0$ から $3 x$ を引きます。

$- 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - 3 x = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

ステップ 12.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

分数 $\frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

ステップ 12.1.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

ステップ 12.1.2.2.2

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$

ステップ 12.1.3

$\frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + 0$

ステップ 12.1.3.2

$\frac{7}{y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$

ステップ 13

$\frac{7}{y^{2}}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

ステップ 13.3

$7$ は $y$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 7 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

ステップ 13.4

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (y) = 7 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

ステップ 13.5

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (y) = 7 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

ステップ 13.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = 7 \int y^{- 2} d y$

ステップ 13.6

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$g (y) = 7 (- y^{- 1} + C)$

ステップ 13.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.1

$7 (- y^{- 1} + C)$ を $7 (- \frac{1}{y}) + C$ に書き換えます。

$g (y) = 7 (- \frac{1}{y}) + C$

ステップ 13.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.2.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$g (y) = - 7 \frac{1}{y} + C$

ステップ 13.7.2.2

$- 7$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{- 7}{y} + C$

ステップ 13.7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$g (y) = - \frac{7}{y} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x - \frac{7}{y} + C$

微分積分 例

微分積分例