微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x {(2 + x^{2})}^{4}$ , $y (0) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u = 2 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u = 2 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$2 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $2 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int u^{4} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

$u^{4}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{u^{4}}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{4} d u$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 5} u^{5} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{10} u^{5} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $2 + x^{2}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ の $0$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = \frac{1}{10} {(2 + 0^{2})}^{5} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$ として書き換えます。

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0)}^{5} + K = 0$

ステップ 4.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{10} \cdot 2^{5} + K = 0$

ステップ 4.2.3

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{10} \cdot 32 + K = 0$

ステップ 4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + K = 0$

ステップ 4.2.4.2

$2$ を $32$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

ステップ 4.2.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

ステップ 4.2.4.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{5} \cdot 16 + K = 0$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{5}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{16}{5} + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $\frac{16}{5}$ を引きます。

$K = - \frac{16}{5}$

ステップ 5

$- \frac{16}{5}$ を $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{16}{5}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

二項定理を利用します。

$y = \frac{1}{10} (2^{5} + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ を $5$ 乗します。

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.2

$2$ を $4$ 乗します。

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 16 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.3

$5$ に $16$ をかけます。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 8 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.5

$10$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.6

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{2 \cdot 2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.7

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 4 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.8

$10$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.9

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{2 \cdot 3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.9.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.10

$5$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.11

${(x^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.11.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{2 \cdot 4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.11.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.12

${(x^{2})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.12.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{2 \cdot 5}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.2.12.2

$2$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{10}) - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{1}{10} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.1.2

$2$ を $32$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.1.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.1.4

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{5} \cdot 16 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.2

$\frac{1}{5}$ と $16$ をまとめます。

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.3

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$10$ を $80 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.4

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$10$ を $80 x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.5

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1

$10$ を $40 x^{6}$ で因数分解します。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.5.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.5.3

式を書き換えます。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.6

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.6.1

$10$ を $10 x^{8}$ で因数分解します。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 (x^{8})) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.2.4.7

$\frac{1}{10}$ と $x^{10}$ をまとめます。

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$

ステップ 5.3

$\frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{16 - 16}{5}$

ステップ 5.3.2

$16$ から $16$ を引きます。

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{0}{5}$

ステップ 5.3.3

$0$ を $5$ で割ります。

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + 0$

ステップ 5.3.4

$8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$ と $0$ をたし算します。

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$

微分積分 例

微分積分例