微分積分例

$x (y d) x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 1.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

ステップ 1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.4

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

ステップ 2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x = 2 x$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x = 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 x - x}{M}$

ステップ 4.3

$x y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x y$ を $M$ に代入します。

$\frac{2 x - x}{x y}$

ステップ 4.3.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x}{x y}$

ステップ 4.3.3

$x y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | y | + C$

ステップ 6

$x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $y$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x y$ に $y$ をかけます。

$x y \cdot y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$y$ を移動させます。

$x (y \cdot y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

$x^{2} + y^{2}$ に $y$ をかけます。

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) y d y = 0$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y) d y = 0$

ステップ 6.5

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y^{1}) d y = 0$

ステップ 6.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2 + 1}) d y = 0$

ステップ 6.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{3}) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = x y^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $y^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

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ステップ 8.3.1

$y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

ステップ 8.3.3

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.3.5

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.3.7.2

$x^{2} y$ を $1$ で割ります。

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y^{3}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$

ステップ 12.1.2

$x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$x^{2} y$ から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

ステップ 12.1.2.2

$y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

ステップ 13

$y^{3}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int y^{3} d y$

ステップ 13.3

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 15.2

$\frac{y^{2}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

ステップ 15.3

$\frac{1}{4}$ と $y^{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} + C$

微分積分 例

微分積分例