微分積分例

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.3

$y$ を $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.4

$y$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$e^{\int \tan (x) d x}$

ステップ 2.2.2

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (\sec (x))}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sec (x)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\sec (x)$ を掛けます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.3

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.5

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.5.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.3

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 3.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

ステップ 3.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

ステップ 3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.1

分数を分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5.3

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5.4

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5.5

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5.7

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.5.9

$y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 3.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

ステップ 8

$\sec (x) y = \tan (x) + C$ の各項を $\sec (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$\sec (x) y = \tan (x) + C$ の各項を $\sec (x)$ で割ります。

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\sec (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.3.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.3.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.3.1.4

$\cos (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.3.1.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.3.1.5.2

式を書き換えます。

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

ステップ 8.3.1.6

分数を分解します。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

ステップ 8.3.1.7

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

ステップ 8.3.1.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

ステップ 8.3.1.9

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

ステップ 8.3.1.10

$C$ を $1$ で割ります。

$y = \sin (x) + C \cos (x)$

微分積分 例

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