微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{2} + y^{2} + 1 + x^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{2} + y^{2}) + 1 + x^{2}$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $x^{2} + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1))$

ステップ 1.3

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$y^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{2} + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

微分積分 例

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