微分積分例

$2 x (y d) y = (x^{2} - y^{2}) d x$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $(x^{2} - y^{2}) d x$ を引きます。

$2 x y d y - (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

ステップ 1.2

書き換えます。

$- (x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} - y^{2})]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- (x^{2} - y^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{2} - y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

ステップ 2.4

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.7

掛け算します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.7.2

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

ステップ 3

$N (x, y) = 2 x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

ステップ 3.2

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y = 2 y$

ステップ 4.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 y = 2 y$ は恒等式です。

ステップ 5

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - (x^{2} - y^{2}) d x$

ステップ 6

$M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int x^{2} - y^{2} d x$

ステップ 6.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = - (\int x^{2} d x + \int - y^{2} d x)$

ステップ 6.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - y^{2} d x)$

ステップ 6.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C - y^{2} x + C)$

ステップ 6.5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} + C - y^{2} x + C)$

ステップ 6.6

簡約します。

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

ステップ 7

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y$

ステップ 9

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 9.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.2.2

総和則では、 $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.3

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)]$ の値を求めます。

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ステップ 9.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x]$ です。

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.3.2

総和則では、 $\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ です。

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.3.3

$\frac{x^{3}}{3}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.3.4

$- x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2} x$ の微分係数は $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (0 - x (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (0 - 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.3.7

$0$ から $2 x y$ を引きます。

$- (- 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.3.8

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

ステップ 9.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y$

ステップ 9.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y$

ステップ 10

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.1.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

ステップ 10.1.2

$2 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 11

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 11.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 11.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 11.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 11.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 12

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

ステップ 13

各項を簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + C$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} - (- y^{2} x) + C$

ステップ 13.3

$- (- y^{2} x)$ を掛けます。

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ステップ 13.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + 1 (y^{2} x) + C$

ステップ 13.3.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + C$

微分積分 例

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