微分積分例

$x (y^{2} - 1) d y + y (x^{2} - 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $y (x^{2} - 1) d x$ を引きます。

$x (y^{2} - 1) d y = - y (x^{2} - 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ に $y^{2} - 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.5

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{x y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.5.2

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} - 1) d x$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

ステップ 3.7

分配則を当てはめます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

ステップ 3.8

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

ステップ 3.8.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

ステップ 3.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

ステップ 3.8.4

式を書き換えます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

ステップ 3.9

$- \frac{1}{x} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + 1 \frac{1}{x}) d x$

ステップ 3.9.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$y$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5

$y$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$y$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.8

式を簡約します。

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ステップ 4.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.8.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.8.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.9

$- 1 y$ と $y$ をたし算します。

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.10

$0$ から $1$ を引きます。

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.11

$y^{2} - 1$ を $y$ で割ります。

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ステップ 4.2.11.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

ステップ 4.2.11.2

被除数 $y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

ステップ 4.2.11.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

ステップ 4.2.11.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

ステップ 4.2.11.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

ステップ 4.2.11.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

ステップ 4.2.11.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.12

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.13

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.14

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.15

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.16

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 4.3.5

簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 4.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例