微分積分例

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 1.2

両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

ステップ 1.3.2

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$\sin (x)$ と $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

ステップ 1.3.2.2

括弧を付けます。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

ステップ 1.3.2.3

正弦と余弦に関して $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ を書き換えます。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

ステップ 1.3.2.4

共通因数を約分します。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ に $1$ をかけます。

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

ステップ 2.3.3

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

$y$ を $2 y^{2}$ で因数分解します。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

ステップ 2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

ステップ 2.3.3.2.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

ステップ 2.3.3.2.3

共通因数を約分します。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

ステップ 2.3.3.2.4

式を書き換えます。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

ステップ 2.3.3.2.5

$2 y$ を $1$ で割ります。

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

ステップ 2.3.5

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

簡約します。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2.2.2

式を書き換えます。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{y^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$- 1 \cdot y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

$\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (| y |)$ を $- \ln (| y |)$ に書き換えます。

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.5

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

ステップ 3.1.3.1.6

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$

微分積分 例

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