微分積分例

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ の各項を $\cot (x)$ で割ります。

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 1.2

$\cot (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 1.3

$y$ を $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 1.4

$y$ と $\frac{- 2}{\cot (x)}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 2}{\cot (x)}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

ステップ 2.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

ステップ 2.2.4.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ で割ります。

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

ステップ 2.2.4.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

ステップ 2.2.4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

ステップ 2.2.5

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sec^{- 2} (x)$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2.8

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

ステップ 2.9

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

ステップ 2.10

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

${(1 \cos (x))}^{2}$

ステップ 2.11

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (x)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分数を分解します。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ で割ります。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.4

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.5.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.7

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.7.1

$\cos (x)$ を $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.7.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.7.3

式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.8

$\frac{- 2}{1}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.9

$\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.2.10

$- 2 \cos (x) \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

ステップ 3.3

分数を分解します。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

ステップ 3.4

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

ステップ 3.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ で割ります。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

ステップ 3.6

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

ステップ 3.7.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 3.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.9

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.1

$\cos (x)$ を $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.9.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.9.3

式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 3.10

$\frac{5}{1}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

ステップ 3.11

$\frac{5 \cos (x)}{1}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

ステップ 3.12

$5 \cos (x) \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 3.13

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 7.2

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.2.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.2.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 7.2.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 7.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

ステップ 7.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

ステップ 7.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

ステップ 7.5

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 7.6

簡約します。

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ステップ 7.6.1

$- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ を $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ に書き換えます。

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

ステップ 7.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1

$- 5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

ステップ 7.6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

ステップ 7.7

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 8

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ の各項を $\cos^{2} (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ の各項を $\cos^{2} (x)$ で割ります。

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.1.2

$- \frac{5}{2}$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.2

$1$ を掛けます。

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

ステップ 8.3.1.3

分数を分解します。

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.4

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

ステップ 8.3.1.5

$C$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$

微分積分 例

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