微分積分例

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

項を並べ替えます。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

ステップ 1.2

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ の各項を $x^{2} + 1$ で割ります。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{y}{x^{2} + 1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$e^{\arctan (x) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\arctan (x)}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{\arctan (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{\arctan (x)}$ を掛けます。

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ と $y$ をまとめます。

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2.2

$e^{\arctan (x)}$ と $\frac{y}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.3

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$e^{\arctan (x)}$ を $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

$e^{\arctan (x)}$ を $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.5.1.2

$e^{\arctan (x)}$ を $e^{\arctan (x)} y$ で因数分解します。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.5.1.3

$e^{\arctan (x)}$ を $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ で因数分解します。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.5.3

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.6

$e^{\arctan (x)}$ と $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.7

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = \arctan (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ すると、 $(x^{2} + 1) d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$u = \arctan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1.1

$\arctan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 7.1.1.2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 7.1.1.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 7.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

ステップ 7.2

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

ステップ 7.3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

ステップ 7.4

簡約します。

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

ステップ 7.5

$u$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

ステップ 8

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ の各項を $e^{\arctan (x)}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ の各項を $e^{\arctan (x)}$ で割ります。

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{\arctan (x)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{\arctan (x)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$\arctan (x)$ を $1$ で割ります。

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{\arctan (x)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

微分積分 例

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