微分積分例

$\frac{d v}{d t} = \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d v = (\frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d v = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.2

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ の $t$ に関する積分は $\arctan (t) + C_{2}$ です。

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.5

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$v + C_{1} = 9 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$v = 9 \arctan (t) + \tan (t) + K$

微分積分 例