微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x^{2}$

ステップ 1

$x$ について両辺を積分します。

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ステップ 1.1

一次導関数は、 $x$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} d x$

ステップ 1.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d y = (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

ステップ 3.3.5

簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

簡約します。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.5.2

簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y + C_{2} = \frac{1}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.5.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$y + C_{2} = \frac{1}{12} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{12} x^{4} + C x + D$

微分積分 例

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