微分積分例

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$y'' + 25 y = 0$

ステップ 2

$y'$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

ステップ 2.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$A$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $A \sin (5 x)$ の微分係数は $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ です。

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2.5

$5$ に $1$ をかけます。

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2.6

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.2.7

$5$ を $A$ の左に移動させます。

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$B$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $B \cos (5 x)$ の微分係数は $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ です。

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

ステップ 2.3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 2.3.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 2.3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 2.3.3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

ステップ 2.3.3.5

$5$ に $1$ をかけます。

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

ステップ 2.3.3.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

ステップ 2.3.4

項を並べ替えます。

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

ステップ 3

$y''$ を求めます。

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ステップ 3.1

微分係数を設定します。

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.2

総和則では、 $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ です。

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$5 A$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 A \cos (5 x)$ の微分係数は $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ です。

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3.5

$5$ に $1$ をかけます。

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.3.7

$- 5$ に $5$ をかけます。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 5 B$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 B \sin (5 x)$ の微分係数は $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ です。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

ステップ 3.4.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.4.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.4.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

ステップ 3.4.5

$5$ に $1$ をかけます。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

ステップ 3.4.6

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

ステップ 3.4.7

$5$ に $- 5$ をかけます。

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

ステップ 4

与えられた微分方程式に代入します。

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

ステップ 5.2

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.1

$- 25 A \sin (5 x)$ と $25 A \sin (5 x)$ をたし算します。

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

ステップ 5.2.2

$- 25 B \cos (5 x)$ と $0$ をたし算します。

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

ステップ 5.2.3

$- 25 B \cos (5 x)$ と $25 B \cos (5 x)$ をたし算します。

$0 = 0$

ステップ 6

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ は $y'' + 25 y = 0$ の解です

微分積分 例

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