微分積分例

$\frac{d x}{d y} = e^{x - y}$

ステップ 1

$v = e^{x - y}$ とします。

$v$ を

$e^{x - y}$ に代入します。

$\frac{d x}{d y} = v$

ステップ 2

$e^{x - y}$ を微分し、

$\frac{d v}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (y) = e^{y}$ および

$g (y) = x - y$ のとき、

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は

$f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、

$u_{1}$ を

$x - y$ とします。

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 2.1.2

$a$ =

$e$ のとき、

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は

$a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d y} = e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を

$x - y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 2.2

総和則では、

$x - y$ の

$y$ に関する積分は

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を

$x'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (x' + \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.4

$- 1$ は

$y$ に対して定数なので、

$y$ に対する

$- y$ の微分係数は

$- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (x' - \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は

$n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (x' - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.6

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (x' - 1)$

ステップ 3

$v$ を

$e^{x - y}$ に代入します。

$\frac{d v}{d y} = v (x' - 1)$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 1 = v$

ステップ 5

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{d v}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から

$1$ を引きます。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v - 1$

ステップ 5.1.2

両辺に

$v$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = (v - 1) v$

ステップ 5.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = (v - 1) v$

ステップ 5.1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d y} = (v - 1) v$

ステップ 5.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1

$(v - 1) v$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v - 1 v$

ステップ 5.1.3.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1.2.1

$v$ に

$v$ をかけます。

$\frac{d v}{d y} = v^{2} - 1 v$

ステップ 5.1.3.2.1.2.2

$- 1 v$ を

$- v$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d y} = v^{2} - v$

ステップ 5.2

両辺に

$\frac{1}{v^{2} - v}$ を掛けます。

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

ステップ 5.3

$v^{2} - v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d y} = 1$

ステップ 5.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d y$

ステップ 6

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d y$

ステップ 6.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$v$ を

$v^{2} - v$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1.1

$v$ を

$v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

ステップ 6.2.1.1.1.2

$v$ を

$- v$ で因数分解します。

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

ステップ 6.2.1.1.1.3

$v$ を

$v \cdot v + v \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{1}{v (v - 1)}$

ステップ 6.2.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所

$B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は

$v (v - 1)$ です。

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.4

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.5

$v - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.6.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.1.2

$A (v - 1)$ を

$1$ で割ります。

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.3

$- 1$ を

$A$ の左に移動させます。

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.4

$- 1 A$ を

$- A$ に書き換えます。

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.5

$v - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.1.6.5.2

$B v$ を

$1$ で割ります。

$1 = A v - A + B v$

ステップ 6.2.1.1.7

$- A$ を移動させます。

$1 = A v + B v - A$

ステップ 6.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

式の両辺から

$v$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 6.2.1.2.2

式の両辺から

$v$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A$

ステップ 6.2.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

ステップ 6.2.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

$1 = - 1 A$ の

$A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1.1

方程式を

$- 1 A = 1$ として書き換えます。

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

ステップ 6.2.1.3.1.2

$- 1 A = 1$ の各項を

$- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1.2.1

$- 1 A = 1$ の各項を

$- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 6.2.1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 6.2.1.3.1.2.2.2

$A$ を

$1$ で割ります。

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 6.2.1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1.2.3.1

$1$ を

$- 1$ で割ります。

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

ステップ 6.2.1.3.2

各方程式の

$A$ のすべての発生を

$- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.1

$0 = A + B$ の

$A$ のすべての発生を

$- 1$ で置き換えます。

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

ステップ 6.2.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

ステップ 6.2.1.3.3

$0 = - 1 + B$ の

$B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.1

方程式を

$- 1 + B = 0$ として書き換えます。

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

ステップ 6.2.1.3.3.2

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

ステップ 6.2.1.3.4

連立方程式を解きます。

$B = 1 A = - 1$

ステップ 6.2.1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = 1, A = - 1$

ステップ 6.2.1.4

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ の各部分分数の係数を

$A$ と

$B$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

ステップ 6.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d y$

ステップ 6.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d y$

ステップ 6.2.3

$- 1$ は

$v$ に対して定数なので、

$- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d y$

ステップ 6.2.4

$\frac{1}{v}$ の

$v$ に関する積分は

$\ln (| v |)$ です。

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d y$

ステップ 6.2.5

$u_{2} = v - 1$ とします。次に

$d u_{2} = d v$ 。

$u_{2}$ と

$d$

$u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$u_{2} = v - 1$ とします。

$\frac{d u_{2}}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.1

$v - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

ステップ 6.2.5.1.2

総和則では、

$v - 1$ の

$v$ に関する積分は

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

ステップ 6.2.5.1.3

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は

$n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

ステップ 6.2.5.1.4

$- 1$ は

$v$ について定数なので、

$v$ について

$- 1$ の微分係数は

$0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.2.5.1.5

$1$ と

$0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2.5.2

$u_{2}$ と

$d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d y$

ステップ 6.2.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の

$u_{2}$ に関する積分は

$\ln (| u_{2} |)$ です。

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d y$

ステップ 6.2.7

簡約します。

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d y$

ステップ 6.2.8

項を並べ替えます。

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d y$

ステップ 6.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = y + C_{4}$

ステップ 6.4

右辺の積分定数を

$C$ としてまとめます。

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = y + C$

ステップ 7

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

対数の商の性質を使います、

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = y + C$

ステップ 7.2

$y$ と

$C$ を並べ替えます。

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + y$

ステップ 7.3

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + y}$

ステップ 7.4

対数の定義を利用して

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + y$ を指数表記に書き換えます。

$x$ と

$b$ が正の実数で

$b \neq 1$ ならば、

$\log_{b} (x) = y$ は

$b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C + y} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

ステップ 7.5

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

方程式を

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + y}$ として書き換えます。

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + y}$

ステップ 7.5.2

両辺に

$| v |$ を掛けます。

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + y} | v |$

ステップ 7.5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1

$| v |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + y} | v |$

ステップ 7.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| u_{2} | = e^{C + y} | v |$

ステップ 7.5.4

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.1

方程式を

$e^{C + y} | v | = | u_{2} |$ として書き換えます。

$e^{C + y} | v | = | u_{2} |$

ステップ 7.5.4.2

$e^{C + y} | v | = | u_{2} |$ の各項を

$e^{C + y}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.2.1

$e^{C + y} | v | = | u_{2} |$ の各項を

$e^{C + y}$ で割ります。

$\frac{e^{C + y} | v |}{e^{C + y}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}$

ステップ 7.5.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.2.2.1

$e^{C + y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{C + y} | v |}{e^{C + y}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}$

ステップ 7.5.4.2.2.1.2

$| v |$ を

$1$ で割ります。

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}$

ステップ 7.5.4.3

絶対値の項を削除します。これにより、

$| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に

$\pm$ ができます。

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}$

ステップ 8

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

項を並べ替えます。

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{y + C}}$

ステップ 8.2

$e^{y + C}$ を

$e^{y} e^{C}$ に書き換えます。

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{y} e^{C}}$

ステップ 8.3

$e^{y}$ と

$e^{C}$ を並べ替えます。

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を

$e^{x - y}$ で置き換えます。

$e^{x - y} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}}$

ステップ 10

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x - y}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}})$

ステップ 10.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$x - y$ を対数の外に移動させて、

$\ln (e^{x - y})$ を展開します。

$(x - y) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}})$

ステップ 10.2.2

$e$ の自然対数は

$1$ です。

$(x - y) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}})$

ステップ 10.2.3

$x - y$ に

$1$ をかけます。

$x - y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}})$

ステップ 10.3

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x - y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}})$

ステップ 10.4

方程式の両辺に

$y$ を足します。

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}) + y$

ステップ 11

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

項を並べ替えます。

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{y + C}}) + y$

ステップ 11.2

$e^{y + C}$ を

$e^{y} e^{C}$ に書き換えます。

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{y} e^{C}}) + y$

ステップ 11.3

$e^{y}$ と

$e^{C}$ を並べ替えます。

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}}) + y$

微分積分 例

微分積分例