微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ と $y (e) = - 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \ln (| x |) + C$

$y = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \ln (| x |) + C$ の $e$ を $x$ に、 $- 2$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$- 2 = \ln (| e |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\ln (| e |) + C = - 2$ として書き換えます。

$\ln (| e |) + C = - 2$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (e) + C = - 2$

ステップ 4.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$1 + C = - 2$

$1 + C = - 2$

ステップ 4.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$C = - 2 - 1$

ステップ 4.3.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$C = - 3$

$C = - 3$

$C = - 3$

ステップ 5

$- 3$ を $y = \ln (| x |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 3$ を $C$ に代入します。

$y = \ln (| x |) - 3$

$y = \ln (| x |) - 3$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$