微分積分例

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

ステップ 1.2

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t + 1}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = t + 1$ とします。次に $d u = d t$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = t + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$t + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.3.1.1.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $t + 1$ で置き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| t + 1 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\arctan (y) = \ln (| t + 1 |) + C$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\ln (| t + 1 |) + C)$

微分積分 例

微分積分例