微分積分例

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

ステップ 1

$P (t) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d t}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 t + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 t}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{2 t}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{2 t}$ を掛けます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 2.4

指数を足して $e^{2 t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1

$e^{t}$ を移動させます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

ステップ 2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

ステップ 2.4.3

$t$ と $2 t$ をたし算します。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

ステップ 2.5

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

ステップ 6.2

$u = 3 t$ とします。次に $d u = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = 3 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 6.2.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 6.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 6.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

共通因数を約分します。

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2

式を書き換えます。

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.3

$\int e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

ステップ 6.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

ステップ 6.7

$u$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

ステップ 7

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ の各項を $e^{2 t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ の各項を $e^{2 t}$ で割ります。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{2 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{3 t}$ と $e^{2 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{2 t}$ を $e^{3 t}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 7.3.1.2.4

$e^{t}$ を $1$ で割ります。

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8

初期条件を利用し、 $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ の $0$ を $t$ に、 $3$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

ステップ 9

$C$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ として書き換えます。

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

ステップ 9.2.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 + \frac{C}{1} = 3$

ステップ 9.2.3

$C$ を $1$ で割ります。

$1 + C = 3$

ステップ 9.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$C = 3 - 1$

ステップ 9.3.2

$3$ から $1$ を引きます。

$C = 2$

ステップ 10

$2$ を $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$2$ を $C$ に代入します。

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$

微分積分 例

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