微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 \sin (3 x + 4)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 2 \sin (3 x + 4) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int \sin (3 x + 4) d x$

ステップ 2.3.2

$u = 3 x + 4$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 3 x + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$3 x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.3.3

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.6

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$\frac{2}{3}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (u)}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $3 x + 4$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (3 x + 4)}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.9

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + K$

微分積分 例

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