微分積分例

$6 y^{2} d x = 9 x y d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$9 x y d y = 6 y^{2} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y^{2}} (9 x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 \frac{1}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

ステップ 3.2

$9$ と $\frac{1}{x y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{9}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

ステップ 3.3

$x y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x y$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{9}{x y (y)} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{9}{x y \cdot y} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{y} d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{9}{y} d y = 6 \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

ステップ 3.5

$6$ と $\frac{1}{x y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x y^{2}} y^{2} d x$

ステップ 3.6

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{9}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$9$ は $y$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$9 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$9 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$9 \ln (| y |) = 6 \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

対数の中の $9$ を移動させて $9 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{9}) - 6 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.2

対数の中の $6$ を移動させて $- 6 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

ステップ 5.2.1.1.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{6}$ の絶対値を削除します。

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln (x^{6}) = C$

ステップ 5.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}})} = e^{C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$

ステップ 5.5.2

両辺に $x^{6}$ を掛けます。

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

ステップ 5.5.3

簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1

$x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

ステップ 5.5.3.1.1.2

式を書き換えます。

${| y |}^{9} = e^{C} x^{6}$

ステップ 5.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.2.1

$e^{C} x^{6}$ の因数を並べ替えます。

${| y |}^{9} = x^{6} e^{C}$

ステップ 5.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$| y | = \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

ステップ 5.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} C}$

微分積分 例

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