微分積分例

$(1 + x^{2}) d y = y d x$

ステップ 1

両辺に $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

$1 + x^{2}$ を $(1 + x^{2}) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

ステップ 2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

ステップ 2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

ステップ 2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$y$ を $(1 + x^{2}) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \arctan (x) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (x) + C}$

ステップ 4.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = \arctan (x) + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\arctan (x) + C} = | y |$

ステップ 4.3

$y$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式を $| y | = e^{\arctan (x) + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{\arctan (x) + C}$

ステップ 4.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{\arctan (x) + C}$

ステップ 5

定数項をまとめます。

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ステップ 5.1

$e^{\arctan (x) + C}$ を $e^{\arctan (x)} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C}$

ステップ 5.2

$e^{\arctan (x)}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)}$

ステップ 5.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\arctan (x)}$

微分積分 例

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