微分積分例

$x + 2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$

ステップ 1.1.2

$2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ の各項を $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ の各項を $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ で割ります。

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.2.3

$\sqrt{x^{2} + 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}})$

ステップ 1.1.2.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.3.1

$\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1.1.2.3.3.2

$\sqrt{x^{2} + 1}$ を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

ステップ 1.1.2.3.3.3

$\sqrt{x^{2} + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

ステップ 1.1.2.3.3.4

$\sqrt{x^{2} + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

ステップ 1.1.2.3.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.1.2.3.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.3.7

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ を $x^{2} + 1$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.2.3.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.2.3.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.2.3.3.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

ステップ 1.1.2.3.3.7.5

簡約します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.4.2

まとめる。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

ステップ 1.4.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

ステップ 1.4.3.2

$y$ を $2 (x^{2} + 1) y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

ステップ 1.4.3.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

ステップ 1.4.3.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.4.4

$x$ に $1$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 2.3.3

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.3.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.3.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3.3.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.3.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.4.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

ステップ 2.3.6.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

ステップ 2.3.6.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

ステップ 2.3.6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.3.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $u^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.6.3.2

指数を足して $u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.6.3.2.1

$u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.3.2.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.6.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.6.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.6.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.6.3.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.6.4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.6.4.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.6.4.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.6.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.6.4.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.6.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$- \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $- \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2.3

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.9

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

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