微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{x^{2} - 2 y}{x} = 0$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1.1

分数 $\frac{x^{2} - 2 y}{x}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} - (\frac{x^{2}}{x} + \frac{- 2 y}{x}) = 0$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x^{2}}{x} - \frac{- 2 y}{x} = 0$

ステップ 1.1.3

方程式の両辺に $\frac{x^{2}}{x}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.2

$y$ を $- \frac{- 2 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 2}{x}) = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.3

$y$ と $- \frac{- 2}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 2}{x} y = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{- 2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{- 2}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{- 2}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\int - - \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\int 1 \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2.1.3

$\frac{2}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{2}$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x^{2}$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (- \frac{- 2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (\frac{- 2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (- \frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2.3

$y$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (- \frac{y \cdot 2}{x}) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

$- \frac{y \cdot 2}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2.4.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (- x) \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2.4.3

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (- x) \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2.4.4

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x (- y \cdot 2) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x (- 2 y) = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.2.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x^{2}$

ステップ 3.4

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{1} x^{2}$

ステップ 3.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{1 + 2}$

ステップ 3.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{3}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{3} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x^{2} y = \int x^{3} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 8

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{2} y = \frac{1}{4} x^{4} + C$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$x^{4}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

$x^{2}$ を $\frac{1}{4} x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2.4

$\frac{1}{4} x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{x^{2}}$

微分積分 例

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