微分積分例

$(1 - x^{2}) (1 - y) d x = x y (1 + y) d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$x y (1 + y) d y = (1 - x^{2}) (1 - y) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (1 - y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (1 - y)} (x y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x$ を $x y (1 + y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 - y} (y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

ステップ 3.2

$y$ と $\frac{1}{1 - y}$ をまとめます。

$\frac{y}{1 - y} (1 + y) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

ステップ 3.3

$\frac{y}{1 - y}$ に $1 + y$ をかけます。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

ステップ 3.4

$1 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1 - y$ を $x (1 - y)$ で因数分解します。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

ステップ 3.4.2

$1 - y$ を $(1 - x^{2}) (1 - y)$ で因数分解します。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

ステップ 3.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

ステップ 3.4.4

式を書き換えます。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x} (1 - x^{2}) d x$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x}$ に $1 - x^{2}$ をかけます。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1^{2} - x^{2}}{x} d x$

ステップ 3.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{y \cdot 1 + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1 \cdot y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{y + y^{1} y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$y$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{y + y^{1} y^{1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{y + y^{1 + 1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{y + y^{2}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.7

$y$ と $y^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{y^{2} + y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.8

$1$ と $- y$ を並べ替えます。

$\int \frac{y^{2} + y}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.9

$y^{2} + y$ を $- y + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.9.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$1$

$y^{2}$

$y$

$0$

ステップ 4.2.9.2

被除数 $y^{2}$ の最高次項を除数 $- y$ の最高次項で割ります。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$

ステップ 4.2.9.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				+	$y^{2}$	-	$y$

ステップ 4.2.9.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{2} - y$ の符号をすべて変更します。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$

ステップ 4.2.9.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$

ステップ 4.2.9.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

ステップ 4.2.9.7

被除数 $2 y$ の最高次項を除数 $- y$ の最高次項で割ります。

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

ステップ 4.2.9.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						+	$2 y$	-	$2$

ステップ 4.2.9.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 y - 2$ の符号をすべて変更します。

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$

ステップ 4.2.9.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$
								+	$2$

ステップ 4.2.9.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int - y - 2 + \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.10

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.11

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.12

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.13

定数の法則を当てはめます。

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.14

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.15

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.16

$u = - y + 1$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.16.1

$u = - y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.16.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 4.2.16.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 4.2.16.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.17

分数の前に負数を移動させます。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.18

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.19

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.20

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.21

簡約します。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.2.22

$u$ のすべての発生を $- y + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.3.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

ステップ 4.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

ステップ 4.3.4.3

$1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

ステップ 4.3.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

ステップ 4.3.4.5

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

ステップ 4.3.5

負をくくり出します。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

ステップ 4.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

ステップ 4.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

ステップ 4.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

ステップ 4.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

ステップ 4.3.10

$- x$ と $x$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

ステップ 4.3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1

$0$ から $x^{2}$ を引きます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

ステップ 4.3.11.2

$1$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 4.3.12

$- x^{2} + 1$ を $x$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.12.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 4.3.12.2

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 4.3.12.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

ステップ 4.3.12.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

ステップ 4.3.12.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

ステップ 4.3.12.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

ステップ 4.3.12.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.13

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.15

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.16

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 4.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.17.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 4.3.17.2

簡約します。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{7}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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