微分積分例

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x - (6 x + 1) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$ を引きます。

$- (6 x + 1) d y = - \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ を掛けます。

$\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- (6 x + 1)) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

ステップ 3.2

$6 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

ステップ 3.4

$\cos^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

ステップ 3.4.2

$\cos^{2} (y)$ を $- \cos^{2} (y)$ で因数分解します。

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

ステップ 3.4.3

共通因数を約分します。

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

ステップ 3.4.4

式を書き換えます。

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- 1}{6 x + 1} d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.2

半角公式を利用して $\cos^{2} (y)$ を $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ に書き換えます。

$- \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.5

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.6

$u_{1} = 2 y$ とします。次に $d u_{1} = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$u_{1} = 2 y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1

$2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 4.2.6.1.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.2.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2.6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.7

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.9

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{2})) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.10

簡約します。

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.11

$u_{1}$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 y)$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.12.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.12.3

$y$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.12.4

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.4.1

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.12.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.2.13

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 x + 1} d x$

ステップ 4.3.2

$u_{2} = 6 x + 1$ とします。次に $d u_{2} = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$u_{2} = 6 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$6 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

ステップ 4.3.2.1.2

総和則では、 $6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.2.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 + 0$

ステップ 4.3.2.1.4.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 4.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

ステップ 4.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

ステップ 4.3.3.2

$6$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{6}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

ステップ 4.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $6 x + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C$

微分積分 例

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