微分積分例

$(1 + x^{2}) d y - x y d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $x y d x$ を足します。

$(1 + x^{2}) d y = x y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$1 + x^{2}$ を $(1 + x^{2}) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

ステップ 3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を $(1 + x^{2}) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

ステップ 3.2.2

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

ステップ 3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} x d x$

ステップ 3.3

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.1.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.3.1.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 4.3.1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.3.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 4.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 4.3.6

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 1 + x^{2} |)$ をまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

ステップ 5.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 5.3

$\ln (| y |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 5.4

項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\ln (| y |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 5.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 5.5

$2$ を $\ln (| y |)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 5.6

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 5.6.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 5.6.1.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2} = C$

ステップ 5.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}) = C$

ステップ 5.6.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ を簡約します。

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 5.6.1.4

積の法則を $\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}$ に当てはめます。

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1.5.1

${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.6.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{y^{1}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.5.2

簡約します。

$\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

ステップ 5.8

対数の定義を利用して $\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.9

$y$ について解きます。

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ステップ 5.9.1

方程式を $\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

ステップ 5.9.2

両辺に ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3

左辺を簡約します。

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ステップ 5.9.3.1

${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.9.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3.1.2

式を書き換えます。

$y = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = C {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

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