微分積分例

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

ステップ 1.2

$e^{- y^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$e^{- y^{2}}$ を $x e^{- y^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

ステップ 1.3

不要な括弧を削除します。

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1.1

$\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ と $y$ をまとめます。

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$e^{- y^{2}}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.1.2.2

${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.1.2.2.2

$- y^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.1.2.2.2.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.2

$u = y^{2}$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = y^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{y^{2}}$ をまとめます。

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$y^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y^{2}})$ を展開します。

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

ステップ 3.4.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

ステップ 3.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

微分積分 例

微分積分例