微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (1 - x^{3})}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1^{3} - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3.2

まとめる。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2}) y}$

ステップ 1.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$y$ を $(1 - x) (1 + x + x^{2}) y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

ステップ 1.3.3.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

ステップ 1.3.3.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 1.3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

ステップ 2.3.2

$u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ とします。次に $d u = - 3 x^{2} d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$(1 - x) (1 + x + x^{2})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 + x + x^{2})]$

ステップ 2.3.2.1.2

$f (x) = 1 - x$ および $g (x) = 1 + x + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.3.2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

総和則では、 $1 + x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.3.2.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - x) (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.3.2.1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.3.2.1.3.6

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.2.1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.2.1.3.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.2.1.3.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.2.1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.3.2.1.3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.1.3.11.2

$- 1$ を $1 + x + x^{2}$ の左に移動させます。

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot (1 + x + x^{2})$

ステップ 2.3.2.1.3.11.3

$- 1 (1 + x + x^{2})$ を $- (1 + x + x^{2})$ に書き換えます。

$(1 - x) (1 + 2 x) - (1 + x + x^{2})$

ステップ 2.3.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$(1 - x) \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.4

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.5.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - x + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$1 - x + 2 x - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 - x + 2 x - 2 x \cdot x - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.5

$x$ を $1$ 乗します。

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.6

$x$ を $1$ 乗します。

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - x + 2 x - 2 x^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - x + 2 x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.9

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$1 + x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + x - 2 x^{2} - 1 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.11

$1$ から $1$ を引きます。

$x - 2 x^{2} + 0 - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.12

$x - 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x - 2 x^{2} - x - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.13

$x$ から $x$ を引きます。

$- 2 x^{2} + 0 - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.14

$- 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x^{2} - x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.4.5.15

$- 2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

ステップ 2.3.3.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

ステップ 2.3.3.3

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{3 u} d u$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{3 u} d u)$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{3}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.7.2

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.10

$u$ のすべての発生を $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ を展開します。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.1

$1$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.5.1

$x$ を移動させます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - (x \cdot x) - x \cdot x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x \cdot x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.6

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.6.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x^{1}) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{2 + 1} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.3.1

$x$ から $x$ を引きます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} - x^{3} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.3.2

$1 + x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} - x^{2} - x^{3} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.3.3

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 0 - x^{3} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |)) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = - 2 \ln (| 1 - x^{3} |) + 2 C$

ステップ 3.3

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| 1 - x^{3} |)$ を簡約します。

$y^{2} = - \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 1 - x^{3} |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$

微分積分 例

微分積分例